LINEAR FUNCTIONS

1.1 Slopes and Equations of Lines

1. Find the slope of the line through (4; 5) and (¡1; 2):

m = 5 ¡ 2

4 ¡ (¡1)

= 3

5

2. Find the slope of the line through (5; ¡4) and

(1; 3):

m = 3 ¡ (¡4)

1 ¡ 5

= 3+4

¡4 = ¡7

4

3. Find the slope of the line through (8; 4) and (8; ¡7):

m = 4 ¡ (¡7)

8 ¡ 8

= 11

0

The slope is unde…ned; the line is vertical.

4. Find the slope of the line through (1; 5) and (¡2; 5):

m = 5 ¡ 5

¡2 ¡ 1 = 0

¡3 = 0

5. y = x

Using the slope-intercept form, y = mx + b, we

see that the slope is 1.

6. y = 3x ¡ 2

This equation is in slope-intercept form,

y = mx + b. Thus, the coe¢cient of the x-term,

3, is the slope.

7. 5x ¡ 9y = 11

Rewrite the equation in slope-intercept form.

9y = 5x ¡ 11

y = 5

9

x ¡ 11

9

The slope is 5

9 :

8. 4x + 7y = 1

Rewrite the equation in slope-intercept form.

7y = 1 ¡ 4x

1

7

(7y) = 1

7

(1) ¡ 1

7

(4x)

y = 1

7 ¡ 4

7

x

y = ¡4

7

x +

1

7

The slope is ¡4

7 :

9. x = 5

This is a vertical line. The slope is unde…ned.

10. The x-axis is the horizontal line y = 0: Horizontal

lines have a slope of 0.

11. y = 8

This is a horizontal line, which has a slope of 0.

12. y = ¡6

By rewriting this equation in the slope-intercept

form, y = mx + b; we get y = 0x ¡ 6; with the

slope, m; being 0.

13. Find the slope of a line parallel to 6x ¡ 3y = 12:

Rewrite the equation in slope-intercept form.

¡3y = ¡6x + 12

y = 2x ¡ 4

The slope is 2, so a parallel line will also have slope

2.

56

Section 1.1 Slopes and Equations of Lines 57

14. Find the slope of a line perpendicular to

8x = 2y ¡ 5:

First, rewrite the given equation in slope-intercept

form.

8x = 2y ¡ 5

8x +5=2y

4x +

5

2 = y

or y = 4x +

5

2

Let m be the slope of any line perpendicular to

the given line. Then

4 ¢ m = ¡1

m = ¡1

4

:

15. The line goes through (1; 3); with slope m = ¡2:

Use point-slope form.

y ¡ 3 = ¡2(x ¡ 1)

y = ¡2x +2+3

y = ¡2x + 5

16. The line goes through (2; 4); with slope m = ¡1:

Use point-slope form.

y ¡ 4 = ¡1(x ¡ 2)

y ¡ 4 = ¡x + 2

y = ¡x + 6

17. The line goes through (¡5; ¡7) with slope m = 0.

Use point-slope form.

y ¡ (¡7) = 0[x ¡ (¡5)]

y +7=0

y = ¡7

18. The line goes through (¡8; 1); with unde…ned slope.

Since the slope is unde…ned, the line is vertical.

The equation of the vertical line passing through

(¡8; 1) is x = ¡8:

19. The line goes through (4; 2) and (1; 3):

Find the slope, then use point-slope form with

either of the two given points.

m = 3 ¡ 2

1 ¡ 4

= ¡1

3

y ¡ 3 = ¡1

3

(x ¡ 1)

y = ¡1

3

x +

1

3 + 3

y = ¡1

3

x +

10

3

20. The line goes through (8; ¡1) and (4; 3):

Find the slope, then use point-slope form with

either of the two given points.

m = 3 ¡ (¡1)

4 ¡ 8

= 3+1

¡4

= 4

¡4 = ¡1

y ¡ (¡1) = ¡1(x ¡ 8)

y +1= ¡x + 8

y = ¡x + 7

21. The line goes through ¡ 2

3 ; 1

2

¢

and ¡ 1

4 ; ¡2

¢

.

m = ¡2 ¡ 1

2

1

4 ¡ 2

3

= ¡4

2 ¡ 1

2

3

12 ¡ 8

12

m = ¡5

2

¡ 5

12

= 60

10 = 6

y ¡ (¡2) = 6 μ

x ¡ 1

4

¶

y +2=6x ¡ 3

2

y = 6x ¡ 3

2 ¡ 2

y = 6x ¡ 3

2 ¡ 4

2

y = 6x ¡ 7

2

58 Chapter 1 LINEAR FUNCTIONS

22. The line goes through ¡

¡2; 3

4

¢

and ¡ 2

3 ; 5

2

¢

:

m =

5

2 ¡ 3

4

2

3 ¡ (¡2) =

10

4 ¡ 3

4

2

3 + 6

3

=

7

4

8

3

= 21

32

y ¡ 3

4 = 21

32[x ¡ (¡2)]

y ¡ 3

4 = 21

32x +

42

32

y = 21

32x +

42

32 +

3

4

y = 21

32x +

21

16 +

12

16

y = 21

32x +

33

16

23. The line goes through (¡8; 4) and (¡8; 6):

m = 4 ¡ 6

¡8 ¡ (¡8) = ¡2

0

which is unde…ned.

This is a vertical line; the value of x is always ¡8:

The equation of this line is x = ¡8:

24. The line goes through (¡1; 3) and (0; 3):

m = 3 ¡ 3

¡1 ¡ 0 = 0

¡1 = 0

This is a horizontal line; the value of y is always

3. The equation of this line is y = 3: